Родился в деревне Самбур в Поволжье (ныне – Республика Мордовия). Образование 5 классов. 15 сентября 1939 года призван на срочную службу в ряды РККА Кузнецким РВК Новосибирской области. Служил на Дальнем Востоке в городе Спасск. В июне 1941 года демобилизовался и в эшелоне направлялся домой. Но началась война, и долгожданная встреча с родными не состоялась. Эшелон с демобилизованными солдатами промчался мимо родного дома, на запад. Боевое крещение Федор Дмитриевич принял под Тихвином. Домой пришло письмо «Еду на запад бить врага. Ждите. Скоро вернусь».

Гвардии младший сержант Алехин Федор Дмитриевич служил в 215-м гвардейском пушечном артиллерийском полке 9-й гвардейской пушечной артиллерийской Свирской ордена Суворова бригады прорыва Резерва Главного Командования. Сначала был орудийным номером, затем стал искусным наводчиком. Воевал на Карельском, Воронежском, Юго-Западном, 2-м, 3-м и 4-м Украинских фронтах.

Участвовал в Запорожской, Ясско-Кишиневской и Дебреценской операциях, форсировал реки Свирь и Дунай, брал Будапешт и Вену.

В боях за венгерский город Буда наводчик гвардии младший сержант Алехин проявил себя мастером точного артиллерийского огня. Его орудие, стоя на прямой наводке в течение 15 дней, беспрерывно и мастерски сопровождало пехоту в уличных боях. 28 января 1945 года Алехин получил ответственное задание - уничтожить два станковых пулемета противника, мешающих продвижению 2-го батальона 311-го стрелкового полка. Выкатив орудие на 200 метров от противника, Алехин под градом пуль противника и под сильным минометным огнем открыл точный и сокрушительный огонь по противнику. Двенадцатью снарядами были уничтожены оба пулемета вместе с прислугой. Поддерживаемый батальон успешно пошел в атаку и значительно продвинулся без потерь. Алехин, будучи контужен, остался в строю. Отважный артиллерист 1 апреля 1945 года был награжден орденом Славы III степени.

В конце войны был тяжело ранен в руку. Целый год лечился в госпитале. Чуть не лишился руки из-за многочисленных осколков, но благодаря усилиям женщины-военврача руку удалось сохранить.

После войны мать и сестра Федора Дмитриевича переехали в Прокопьевск, туда и вернулся артиллерист в конце 1946 года. Фёдор самостоятельно обучился мастерству столяра. По заказу знакомых и соседей изготавливал мебель. Работал на шахте в Прокопьевске в цехе по обработке дерева.

Боевые награды: орден Славы III степени (01.04.1945), медали «За отвагу» (20.04.1945), «За боевые заслуги» (30.08.1943), «За взятие Будапешта», «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг».