Родился в селе Троицкое Томской губернии (в настоящее время – Ижморский район Кемеровской области). В 1940 году окончил судостроительный техникум во Владивостоке, получив квалификацию техника-судостроителя.

29 августа 1942 года призван Ленинским РВК г. Владивостока в армию. Гвардии старший сержант Васильев в составе 288-го гвардейского стрелкового полка 94-й гвардейской стрелковой дивизии прошел с боями от Сталинграда до Берлина.

Воевал на Сталинградском (20.10.1942-02.02.1943), Степном (07.07.1943-29.09.1943), 2-м и 3-м Украинских (03.12.1943-19.09.1944) и 2-м Белорусском фронтах (с 01.11.1944). Сталинградская битва, сражения на Орловско-Курской дуге, Корсунь-Шевченковская и Ясско-Кишиневская наступательные операции, освобождение Польши, форсирование Вислы и Одера, бои на улицах Берлина – таков боевой путь Анатолия Афанасьевича Васильева, командира минометного расчета. Четырежды был ранен (17.07.1943, 22.08.1943, 5.12.1943, 25.03.1944).

Во время боевых действий на Харьковском направлении в боях за высоту 172,1 Васильев со своим расчетом, маневрируя и быстро меняя огневые позиции, уничтожил 2 огневые точки противника и свыше 15 гитлеровцев. 9 сентября 1943 года минометчики четырьмя выстрелами уничтожили три снайперских точки, которые мешали продвижению наших подразделений. Первая боевая награда – орден Красной Звезды заблестела на гимнастерке Анатолия Васильева.

В бою у села Устя в Бессарабии минометный расчет под командованием Васильева уничтожил 4 станковых пулемета противника, 3 повозки с боеприпасами и 50 гитлеровцев. За этот подвиг гвардии сержант Васильев 17 мая 1944 года был удостоен медали «За отвагу».

В наступательных боях полка с 14 января 1945 года Васильев уничтожил 3 огневые точки и 8 гитлеровцев. В бою действовал сам и со своим расчетом быстро, смело и стойко, чем способствовал успешному продвижению нашей пехоты вперед. За доблесть и мужество, проявленные в наступательных боях на Магнушевском плацдарме на левом берегу Вислы, А. А. Васильев награжден орденом Славы III степени (04.03.1945).

При прорыве обороны противника 14 апреля 1945 года в районе селения Геншмарер (Германия) огнем минометного расчета гвардии старшина Васильев уничтожил две пулеметных точки противника и 15 солдат. На следующий день 15 апреля в районе сахарного завода, западнее 6 км села Геншмарер, уничтожил из миномета 17 немцев. 28 апреля в боях за тюрьму в городе Берлин уничтожил из миномета 4 огневых точки и 2-х снайперов, обеспечив продвижение наших стрелковых подразделений. Отважный командир расчета минометной роты 3-го батальона 288-го гвардейского Кишиневского стрелкового полка 94-й гвардейской стрелковой дивизии получил четвертую боевую награду - орден Отечественной войны I степени (31.05.1945).

После окончания войны с 13 июня 1946 года гвардии старшина Васильев продолжил службу в 16-й воздушной армии в составе Группы советских войск в Германии.

Боевые награды: орден Отечественной войны I степени (31.05.1945), орден Красной Звезды (17.10.1943), орден Славы III степени (04.03.1945), медали «За отвагу» (17.05.1944), «За взятие Берлина», «За освобождение Варшавы», «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг».

После войны Анатолий Афанасьевич работал на Алма-Атинском промкомбинате, в Анжеро-Судженском леспромхозе, на шахте «Приисковая» Саралинского рудоуправления в Красноярском крае.

В 1959 году приехал в Прокопьевск. Устроился проходчиком на шахту «Маганак», где проработал до 1 мая 1974 года. За трудовые успехи награжден ведомственным нагрудным знаком «Шахтерская слава» III степени (26.07.1973). Выйдя на заслуженный отдых, около года преподавал трудовое обучение в школе № 29. Скончался 31 января 1986 года на 62 году жизни.