Родился в деревне Гололобовка Тамбовской губернии. С семьей переехал в Прокопьевск. 12 августа 1941 года призван на срочную службу Прокопьевским ГВК. В рядах РККА служил наводчиком противотанкового ружья 1-го стрелкового батальона 757-го стрелкового полка 222-й стрелковой дивизии.

Воевал с марта 1942 года по август 1943 года в составе 33-й армии Западного фронта. Иван Максимович сражался под Вязьмой, где 33-я армия была практически полностью окружена, но продолжала позиционные бои местного значения около года. В начале августа 1943 года, после пополнения личным составом, вооружением и техникой, части 222-й дивизии принимали участие в Смоленской наступательной операции в составе 33-й армии под командованием генерал-лейтенанта В. Н. Гордова.

В одном из боев под Смоленском немцы бросились в контратаку. Красноармеец Борзых находясь под подбитым танком, подпустил группу немецких солдат на расстояние 30 метров и меткими бросками гранат уничтожил 17 фашистов. После чего вскочил на танк и из своего автомата начал расстреливать в упор наседавших немцев. «В этом бою тов. Борзых пал смертью храбрых», - так написано в наградном листе. Посмертно Иван Максимович был награжден орденом Отечественной войны I степени (22.08.1943). Но, наверное, Бог хранил отважного истребителя танков. Иван Максимович остался жив. Тяжелейшие ранения не позволили ему вернуться в часть. Он стал инвалидом Великой Отечественной войны.

После лечения вернулся домой в Прокопьевск. Устроился работать на Государственный подшипниковый завод № 14. Общий стаж работы 38 лет.

За боевую работу Иван Максимович Борзых награжден орденом Отечественной войны I степени (22.08.1943), медалью «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.» За трудовую деятельность удостоен медали «За доблестный труд к 100-летию со дня рождения В. И. Ленина».

Ушел из жизни в 2015 году.