Родился 22 октября 1927 года в селе Архангельское Красночикойского района Сибирского края (ныне - Забайкальский край) в семье служащего. Когда маленькому Боре исполнилось три года, его родители Виктор Григорьевич и Фрида Семёновна переехали в город Черемхово (ныне - Иркутской области). Через три года семья переезжает в село Макарьево рабочего посёлка при Ангарском металлургическом заводе. Здесь в 1935 году мальчик идёт учиться в первый класс. Но вскоре родители переезжают снова, теперь в соседний посёлок Свирск.

Окончив восьмой класс школы в марте 1943 года, Борис поступает на завод «Востсибэлемент» в рабочем посёлке Свирск Иркутской области учеником фрезеровщика. Проработав несколько месяцев, юноша добровольно отправляется в Черемховский военкомат, где 22 июля 1943 года его призывают в армию. Грифа Б. В. направляют в ряды Военно-Морского флота во Владивосток в учебный отряд подводного плавания. В 1944 году юноша получает специальность «электрик штурманский» и отправляется на Тихоокеанский флот, где служит матросом на минных заградителях «Ворошиловск» и «Аргунь».

С февраля 1945 по январь 1946 года в составе экипажа корабля «Аргунь» он участвовал в боях против Японии, воевал в Корее. С 1948 по июль 1949 года на корабле «Ворошиловск» служил в Китае. С ноября 1949 по март 1950 года работал старшим инструктором в учебном отряде подводного плавания во Владивостоке.

В 1950-м году Борис Гриф окончил службу в армии в звании старшего лейтенанта. В этом же году, сдав экзамены за 10-й класс, он поступает в Иркутский горно-металлургический институт и в 1955 году получает специальность горный инженер по квалификации «Разработка полезных ископаемых». В этом же году Борис Викторович приехал в Прокопьевск, где работал на шахте «Красногорская» начальником участка, а затем помощником главного инженера.

6 декабря 1962 года по направлению горкома партии Грифа Б. В. переводят на должность директора Прокопьевского горного техникума. За время работы Борис Викторович зарекомендовал себя дисциплинированным, инициативным, требовательным работником. Отличительной чертой Грифа Б. В. являлось стремление привнести всё передовое в вопросах педагогики в практику своей работы. Много сил и энергии отдавал он развитию и улучшению учебно-материальной базы, жилищных условий учащихся.

Под его руководством учебное заведение являлось базовым для всей Сибири. При техникуме успешно работало методическое объединение преподавателей, слёты отличников учёбы. «Горный» не раз занимал призовые места по итогам соцсоревнования за звание «Лучший техникум Министерства угольной промышленности СССР» и «Лучшее общежитие угольной промышленности».

18 ноября 1971 года на Выставке достижений народного хозяйства СССР техникум был награждён дипломом третьей степени. А в смотре спортивных сооружений Министерства угольной промышленности за создание образцового спортивного комплекса техникум занял 1-е место. Гриф Б. В. был награждён бронзовой медалью и денежной премией.

Борис Викторович проводил большую общественную работу: был членом партийного бюро техникума, заместителем председателя Совета директоров техникумов Кемеровской области, депутатом городского совета, членом ГК КПСС. С 1974 года он председатель общества любителей книги в Прокопьевске. Гриф Б. В. был интересующимся и увлечённым человеком. По туристическим путёвкам посетил многие страны - был в Венгрии, Чехословакии, Болгарии, Финляндии, ГДР.

В 1977 году окончил аспирантуру Центрального научно-исследовательского института экономики и научно-технической информации угольной промышленности. Указом Президиума Верховного Совета РСФСР от 27 апреля 1978 года за заслуги в подготовке квалифицированных специалистов для народного хозяйства Борису Викторовичу присвоено почётное звание Заслуженного Учителя школы РСФСР. А 23 августа этого же года он становится кандидатом экономических наук. Гриф Б. В. постоянно трудился над научными исследованиями. Составил брошюры «Совершенствование руководства техникумом на основе научной организации управления», «Планирование потребностей и расстановки специалистов на угольных предприятиях». В соавторстве создал учебник «Безопасность труда в угольной промышленности». Писал научные статьи в газеты и журналы.

2 марта 1988 года Борис Гриф был освобождён от работы директора горного техникума и переведён на должность начальника сектора по товарам народного потребления в объединение «Прокопьевскуголь», но при этом продолжал трудиться преподавателем.

Боевые награды: медали «За победу над Японией» (30.09.1945), «За освобождение Кореи» (15.10.1948).

За многолетний добросовестный труд Б. В. Гриф награжден орденом «Знак Почёта» (02.03.1981), медалями «За трудовую доблесть» (30.03.1971), «Ветеран труда» (05.01.1985), знаком «Шахтёрская слава» 3-х степеней (26.08.1973, 14.07.1977, 25.08.1982), двумя бронзовыми медалями ВДНХ.