Родился 2 февраля 1921 года в городе Шахты (ныне - Ростовская область) в семье служащих. В 1924 году семья уезжает в соседний город – Новошахтинск. Здесь в 1928 году маленький Боря поступает в начальную школу. Полную среднюю школу он оканчивает в 1938 году уже в городе Шахты. Сразу после школы юноша уезжает в Краснодар, где поступает в педагогический институт имени 15-летия ВЛКСМ (ныне - Кубанский государственный университет) на физико-математический факультет.

Получив диплом по специальности «преподаватель математики» 11 ноября 1941 года, Борис Неклюдов отправляется на поиски работы. Спустя два месяца его принимают по совместительству на должность преподавателя математики и основ аэродинамики в Краснодарское Объединённое Авиаучилище ВВС РККА (ныне - Высшее военное авиационное училище лётчиков). Через год 16 января 1942 года Борис Неклюдов был призван Краснодарским ГВК в действующую армию. В должности вычислителя штабной батареи он отправился в 465-ю стрелковую дивизию 38-й армии, на тот момент находящуюся в городе Грозном.

В апреле 1942 года рядовой Неклюдов попал на Харьковский участок фронта. Здесь ему пришлось нелегко. Проводились наступательные действия, велись ожесточённые бои. Трижды Борису Ивановичу удавалось выйти из окружения. Четвёртый раз стал роковым. 13 июня 1942 года в местном бою под городом Миллерово он был взят в плен. Бориса Ивановича отправляли на различные чёрные работы то в Польшу, то в Австрию. Последним пунктом стал австрийский город Грац, где 1 июня 1945 года он был освобождён частями красной армии.

Побывавшего в плену противника, Бориса Неклюдова ждала длительная процедура проверки специальными учреждениями НКВД. До марта 1946 года он находился в проверочно-фильтрационном лагере МВД СССР. Благополучно пройдя все испытания, он уезжает в далёкий Кузбасс на работу, где его принимают участковым нормировщиком в трест «Кузбасспромстройматериалы». Позже он работал в Дорожно-строительной конторе в Прокопьевске.

15 января 1947 года Неклюдов Б. И. устраивается на новую работу в Прокопьевский горный техникум преподавателем математики, черчения и теоретической механики. Проработав здесь до 1 октября 1948 года органами МВД Бориса Ивановича отзывают с должности и переводят на другую работу.