Родилась 31 декабря 1920 года в деревне Екатериновка Воронежской губернии. В 1930-х годах переехала в Прокопьевск. Здесь окончила фельдшерско-акушерскую школу. В 1940 году вступила в комсомол.

В декабре 1941 года Прокопьевским РВК была призвана в Красную Армию. Военфельдшера Кураеву зачислили в санитарную роту 524-го стрелкового полка 112-й стрелковой дивизии. С января по апрель 1942 года дивизия получала пополнение, проводила боевую подготовку. Затем дивизия передислоцировалась в Рязань, где была вооружена и в июле 1942 года приняла боевое крещение под Сталинградом. В составе этого подразделения Анастасия Кураева прошла всю войну. Воевала на Сталинградском, Центральном и 1-м Украинском фронтах.

21 апреля 1943 года была легко ранена в боях в районе села Романово.

При расширении плацдарма на правом берегу Днепра военфельдшер Анастасия Кураева находилась в передовой группе санитарной роты. Под артиллерийским и минометным огнем противника оказывала первичную помощь раненым и эвакуировала их через Днепр. За проявленное мужество была удостоена медали «За отвагу».

Военфельдшер Кураева работала на полковом и батальонном медицинских пунктах, сутками не отходя от перевязочного стола, зачастую под огнем противника. Благодаря кропотливой и умелой работе Анастасии Ивановны были спасены жизни сотен советских солдат.

День Победы капитан медицинской службы Кураева встретила в Бреслау. Демобилизовалась 16 апреля 1946 года. В этом же году поступила в Томский медицинский институт. Окончив клиническую ординатуру, 34 года отработала хирургом. Затем возглавила коллектив хирургического отделения Центральной городской больницы Прокопьевска. В 1988 году ушла на заслуженный отдых.

Боевые награды: два ордена Красной Звезды (15.02.1945, 17.05.1945), медали «За отвагу» (07.02.1944), «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.» (09.05.1945), «За оборону Сталинграда».

За многолетнюю самоотверженную трудовую деятельность Анастасия Ивановна была награждена орденом Октябрьской революции, значком «Отличник здравоохранения», удостоена звания «Ветеран труда».