Родился 15 мая 1914 года в деревне Немитка Полоцкой области Белорусской ССР. В июне 1936 года призван на службу в РККА Освейским РВК Белорусской ССР.
С первого дня войны 22 июня 1941 года участвовал в боях на Ленинградском фронте. Лейтенант Кураш служил в должности начальника огнемётной команды 527-го стрелкового полка 48-й стрелковой Ропшинской Краснознаменной дивизии им. М. И. Калинина. 1 августа 1941 года в бою под Тапику Эстонской ССР взвод во главе с лейтенантом Кураш первым пошёл в атаку и прорвал кольцо вражеского окружения. В этом бою 12 красноармейцев были выведены из окружения, уничтожено до 40 гитлеровцев. Лейтенант Кураш лично уничтожил 13 немцев. В районе ст. Сланцы рота под командованием лейтенанта Куража отбила у противника оставленные нашими частями два 120-мм миномёта и доставила их в часть.
В сентябре 1941 года в бою под Ропшей лейтенант Кураш и красноармеец Павлов из винтовки и пистолета-пулемета Дегтярева сбили низко летавший немецкий самолёт-разведчик, одного немецкого лётчика с важными документами взяли в плен, другого уничтожили.
13 сентября 1942 года лейтенант Кураш из четырех ампуломётов сжёг ДЗОТ противника, 8 огневых точек, жилой блиндаж и 300 метров завала. В этом бою получил ранение.
10 октября 1942 года лейтенант Кураш из четырех ампуломётов сжёг 2 ДЗОТа, 4 запасные огневые точки и 180 метров завала.
В сентябре-октябре 1944 года в боях на территории Латвийской ССР в составе 2-го Прибалтийского фронта, капитан Кураш, будучи в должности начальника химической службы 268-го стрелкового полка 48-й стрелковой Ропшинской Краснознамённой дивизии имени М. И. Калинина, в тяжелых боевых условиях организовал противохимическую защиту полка, химнаблюдение и разведку местности. Отлично обучил и подготовил личный состав химслужбы. Находясь на передовых позициях, кроме исполнения своих прямых обязанностей капитан Кураж неоднократно по заданию командования уточнял обстановку на переднем крае. Так, 19 октября 1944 года во время уточнения обстановки принял непосредственное участие в отражении контратаки противника, уничтожив двух немецких солдат.
Боевые дороги Бориса Кураша пролегли через Ленинград, Новгород, Лугу, Таллин и Кингисепп, Нарву, Тартус и Ригу. День Победы капитан Кураш встретил в Кенигсберге.
За отличное выполнение боевых заданий командования и проявленное при этом личное мужество и доблесть, Борис Григорьевич кураж награжден орденом Красной Звезды (04.12.1944), медалями «За боевые заслуги» (06.12.1942), «За оборону Ленинграда», «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941–1945 гг.» (09.05.1945).
1 февраля 1955 года Борис Григорьевич демобилизовался из армии, приехал в Прокопьевск. Работал слесарем на шахте имени К. Е. Ворошилова.
