Родился в 1903 году в селе Степанцы Каневского уезда Киевской губернии (ныне - Киевская область Украины) в семье мещан. Отец мальчика занимался личным извозным промыслом. Мать была домохозяйкой. Родители, обременённые большой семьёй, терпели нужду и для улучшения материального положения в 1913 году переехали в город Днепропетровск, продолжая заниматься тем же промыслом. В 1928 году умер отец, а в 1930 году мать Анатолия.

В Днепропетровске Анатолий окончил начальное городское училище и поступил в высшее городское училище. Затем в 1920 году поступил в Инженерно-Строительный институт, а в 1921 году в связи с тяжёлым материальным положением учёбу прекратил и начал работать в Управлении железнодорожного транспорта. Окончил курсы бухгалтерского учёта и работал старшим и главным бухгалтером на предприятиях местной промышленности.

25 июня 1941 года Анатолий Лемберский был призван в действующую армию, служил в должности начальника финансовой части и старшего бухгалтера военно-строительного участка. Воевал на Юго-западном фронте в составе 4-го отдельного плотничного батальона 8-й сапёрной армии.

30 октября 1941 года в бою в районе Сталино-Донбасс был убит командир роты. По приказанию командира части техник-интендант II ранга Лемберский принял командование ротой и продолжил продвигаться по намеченному маршруту. При занятии обороны он сумел затормозить продвижение противника. В этом бою Анатолий Лемберский был ранен, но быстро вернулся в строй.

Пока Анатолий Григорьевич сражался на фронте, его семья была эвакуирована из Днепропетровска в Прокопьевск. 14 сентября 1943 года Анатолий Лемберский был уволен в запас и направлен в городской военкомат Прокопьевска по месту жительства его семьи.

В октябре 1943 года устроился на работу преподавателем курсов бухгалтерского учёта в горный техникум. Это был первый преподавательский опыт Анатолия Григорьевича. Позже помимо бухгалтерского учёта он преподавал дисциплины «Анализ хозяйственной деятельности», «Хозяйственное вычисление», «Учёт, отчётность и калькуляция».

Боевые награды: медали «За боевые заслуги» (06.11.1947), «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг».