Родился в 1918 году в деревне Канала Верхошижемский р-н Вятской губернии (ныне - Кировской области).
В сентябре 1939 года был призван на службу Прокопьевским РВК. Участвовал в советско-финской войне 1939-1940 годов.

В Великой Отечественной войне рядовой Дмитрий Целищев сражался всего несколько месяцев с июня по октябрь 1941 года в должности пулемётчика в составе 536-го стрелкового полка 114-й стрелковой дивизии Ленинградского фронта. С 14 по 27 октября 1941 года участвовал в сражении против наступающей на Ленинград с севера 7-й дивизии финнов. 23 октября 1941 года Дмитрий Алексеевич обеспечил прикрытие группы разведчиков огнём станкового пулемёта. В этом бою был тяжело ранен в ногу. За успешное выполнение боевой задачи был удостоен ордена Славы III степени.
После войны Дмитрий Алексеевич жил и работал в Прокопьевске.
Боевые награды: орден Славы III степени (30.05.1951), медаль «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг».