Родился 7 ноября 1926 года в селе Сумное Сокольского района Северо-Казахстанской области Казахской ССР. В 1940 году окончил 7 классов в городе Петропавловске, устроился в кузнечный цех, где работал молотобойцем и кузнецом. 

12 декабря 1943 года был призван в Красную Армию Петропавловским горвоенкоматом. Учился в специальной артиллерийской школе. В действующей армии с 30 августа 1944 г. Боевое крещение получил под городом Калинин (ныне – Тверь). В составе 62-го стрелкового полка 22-й гвардейской стрелковой дивизии 2-го Прибалтийского фронта участвовал в освобождении Риги, разгроме Курляндской группировки противника. 
Замковый батареи 45-мм пушек гвардии красноармеец в боях за безымянную высоту восточнее деревни Лацыши района Юмурда Латвийской ССР 17 сентября 1944 года под ураганным огнем противника, ведя огонь из орудия, стоящего на прямой наводке, уничтожил пулемет противника и 5 немецких солдат. За этот подвиг Анатолий Леонтьевич был награжден медалью «За отвагу». 
После войны А. Л. Завьялов командованием части был направлен во 2-е Горьковское танковое училище, которое окончил в 1951 году. Служил в Белорусском военном округе командиром учебного взвода. 
В 1954 году приехал в город Прокопьевск. Работал военруком и учителем физкультуры в школах № 16, 4 и горном техникуме. 
Награжден орденом Красной Звезды, медалями «За отвагу» (27.09.1944), «За боевые заслуги», юбилейными наградами.