Родился 19 января 1924 года в поселке Будянский Рославльского района Смоленской области. Семья Асмолковых была раскулачена и выслана в Сибирь. Так, Иван оказался в Прокопьевске. 
В сентябре 1942 года 18-летний паренек был призван в ряды Красной Армии Прокопьевским горвоенкоматом. Военную присягу принял 5 ноября 1942 года. В составе 22-го запасного стрелкового полка до сентября 1944 года Асмолков И. С. прошел путь от курсанта учебного батальона до помощника командира взвода. 

Непосредственно в боевых действиях гвардии сержант Иван Асмолков, командир отделения 7-й роты 357-го гвардейского стрелкового полка 114-й гвардейской стрелковой дивизии, принимал участие с января по июль 1945 года. В составе 2-го и 3-го Украинских фронтов участвовал в Венской наступательной операции, освобождении Праги. После окончания войны Иван Сергеевич служил старшим писарем стрелкового полка, заведующим делами по учету рядового и сержантского состава, заведующим секретным делопроизводством. 
Демобилизовался в январе 1947 года, вернулся в Прокопьевск. Работал нормировщиком стройконторы № 1 треста «Востокжилстрой», начальником отдела нормирования труда и заработной платы Красногорской стройконторы № 3, впоследствии переименованной в Красногорское стройуправление треста «Прокопьевскшахтострой». В декабре 1962 года Иван Сергеевич был избран освобожденным председателем построечного комитета Красногорского строительного управления. В мае 1969 года назначен заместителем начальника Красногорского шахтостроительного управления. 
В возрасте 49 лет окончил Новокузнецкий строительный техникум по специальности «Промышленное и гражданское строительство», получил диплом с отличием. 
Иван Сергеевич виртуозно владел логарифмической линейкой, обладал каллиграфическим почерком, был большим любителем шахмат, увлекался фотоделом. 
Боевые награды: орден Красной Звезды (28.04.1945), медали «За отвагу» (10.04.1945), «За освобождение Праги», «За взятие Вены», «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг».